2 前刀面形状的数学模型

1. 前刀面在法剖面内的形状
2. 前刀面在流屑剖面内的形状
具有较好切削性能的球头立铣刀端刃为正交螺旋面与球面的交线，它是一条位于球面上的S形空间曲线。前刀面为正交螺旋面的一部分。
建立如图1所示坐标系o-xyz。其中，z轴与球头立铣刀轴线重合，原点o为球心，半径为R。在该坐标系下，球面方程为

r=［Rcosfcosq，Rcosfsinq，Rsinf］

(1)

正交螺旋面方程可写为
r=［ rxcosq，rxsinq，(pz/2p)q］

(2)
式中：r_x，q——参变量
p_z——螺旋面导程
联立求解式(1)、(2)，可得端刃方程为
r={Rcosq[1-(mq)2]½，Rsinq [1-(mq)2]½，Rmq}

(3)
式中：m=p_z/(2pR)=1/tanw(w为半径R圆柱面上的螺旋角)
端刃上任意一点p的切幺矢为

dr/dq	=T=[Tx，Ty，Tz]
|dr/dq|

式中

Tx= m2q2sinq-m2qcosq-sinq [(1-m2q2)+m2]½

Ty= -m2q2cosq-m2qsinq+cosq [(1-m2q2)+m2]½

Tz= m(1-m2q2)½ [(1-m2q2)+m2]½

过p点作法剖面p_N，其方程为 [r_N-r(q_p)]T=0
将上式展开可得
(X-xp)Tx+(Y-yp)Ty+(Z-zp)Tz=0

(4)
式中：X，Y，Z——法剖面上任意一点的坐标
联立求解式(2)、(4)可得

rx= xpTx+ypTy-(mRq-zp)Tz Txcosq+Tysinq

(5)

将式(5)代入式(2)，即可得到过端刃选定点p的法剖面与正交螺旋面的交线方程，该交线为平面曲线。为使该交线正投影到o-xy平面上，将坐标系o-xyz绕x轴旋转w₁，再绕y轴旋转f₁，即可得到坐标系o-x₁y₁z₁。此时，o-x₁y₁平面与法剖面重合(因为球面上任意点的法剖面必通过球心)，z轴平行于切幺矢T。由此可得旋转角w₁、f₁为

sinf1=	-m2q2sinq+m2qcosq+sinq
	[(1-m2q2)2+m2]½

sinw1=	-m2q2cosq-m2qsinq+cosq
	cosf1[(1-m2q2)2+m2]½

坐标系o-xyz与坐标系o-x₁y₁z₁之间的转换关系为
r1=Ay1x(f1，w1)r

(6)
式中A_y1x(f₁，w₁)为坐标转换矩阵。将式(2)代入式(6)可得
(7)
将求得交线的x，y，z 表达式代入式(7)，可得到交线曲线在o-x₁y₁(即法剖面内)的表达式。
在交线上任取三点，采用三点共圆法即可求得平均曲率半径r_c为

rc=	x3-x2
	2sinbsin(h-e)

图2 前刀面上各剖面的分布

式中

tanh=	y2-y1
	x2-x1
tane=	y3-y1
	x3-x1
tanb=	x3-x2
	y3-y2

前刀面切平面上各剖面的分布如图2 所示。设流屑剖面在p点处的法幺矢为w，则流屑剖面方程可写为 [R_e-r(q_p)]_w=0
将上式展开得

(X-xp)wx+(Y-yp)wy+(Z-zp)wz=0

(8)

式中X，Y，Z——流屑剖面上任意一点的坐标
因为w为主剖面法幺矢q绕切削速度幺矢v正转d角得到的，且q⊥v，因此有

w=qcosd+(v×q)sind (9)

(9)

式中

q=m×v= 1 (vsinls-T) cosls

(10)

由图2可知：d=y_l-D。由于D 角较小，可近似认为d≈y_l。根据金属切削原理可知，当刃倾角l_s≤45°时，流屑角y_l≈l_s。刃倾角l_s可由下式求得：

sinls=	1-m2q2
	[(1-m2q2)2+m2]½

将式(10)代入式(9)并化简，可得 w=(vsinl_s-T)+tanl_s(T×v)
将上式展开可得

(11)

将式(2)代入式(8)，可得

rx= xpwx+ypwy-(mRq-zp)wz wxcosq+wysinq

(12)

将式(12)代入式(2)，即可得到过端刃选定点p的流屑剖面与正交螺旋面的交线方程，该交线为平面曲线。为使该交线正投影到o-xy平面上，将坐标系o-xyz绕x轴旋转w₂，再绕y轴旋转f₂，即可得到坐标系o-x₂y₂z₂。此时，z轴平行于幺矢w，o-x₂y₂平面平行于流屑剖面。由此可得旋转角w₂，f₂为 tanw2=w_y/w_z
tanf₂=-w_x/(w_ysinw₂+w_zcosw₂)
坐标系o-xyz与坐标系o-x₂y₂z₂之间的转换关系为

r2=Ay2x(f2，w2)r

(13)

式中A_y2x(f₂，w₂)为坐标转换矩阵。将式(2)代入式(13)得

(14)

将求得交线的x，y，z表达式代入式(14)，可得到交线曲线在平面o-x₂y₂(即流屑剖面内)的表达式。在交线上任取三点，采用三点共圆法可求得平均曲率半径r_f。